小桁架(小桁架承重)

　　大筑建筑学社

前言

在建筑学院

有这么一个词语

你总是听人提起小桁架，

但却又好像没人能说小桁架的清楚

没错小桁架，他就是「图解静力学」

他小桁架的神奇还在于，你总以为他是结构的那帮孩子们玩玩意儿

可当你真的遇到结构的学生

他们会给你一脸无辜脸，什么？我真的没听说过？

简介

什么是图解静力学？顾名思义，就是用画图来求解静力学问题。据资料记载，国内的结构力学教材都没有相关内容，建筑学院更没有。我们结构力学的教授告诉我们，美国目前的教材里，也没有这些内容，只有铁木辛柯大神的Theory of Structures一书专门讲述了图解静力学。

意义

很多学生肯定会问，这东西听起来这么牛逼，那我学了他能干嘛？

首先，你能装酷啊

当再有人嘲笑你们说，你们懂图解静力学的时候，你就可以站起来说，老师，要不我画给你看看？

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其次，如果在有人嘲笑你不懂结构，你就可以一言不合就开画啊

其次，你算应力，你真的不需要计算机，更不需要求着结构的学生帮你了呢。

举例说明：

那图解静力学到底是什么样的呢？让我们用一个小例子来说明吧。

上图这个桁架，下弦节点承受竖向荷载，我们要求解这个桁架的内力。如果用节点法、截面法，很快可以求解。那如果我们用图解法呢？

首先要把整个平面区域分区，分割线是所有的外荷载、支座反力和桁架杆件。像上图这样，整个平面区域划分成从 a 到 k 的11个区域。

a 和 b 之间是向下的外荷载，大小为1。在右边画一个点，代表 a，从 a 向下划一条长度为1的线段，代表这个外荷载，这条线段的终点就是 b。依次类推，我们把左边的空间区域 a、b、c、d 变成右边的点 a、b、c、d，把左边的荷载变成右边的线段ab、bc、cd，线段的长度就是荷载的大小。

接下来是支座反力，我们知道左右两边的反力相同，各1.5，方向向上。左边的支座反力在 d 和 e 之间，所以从右边的 d 点开始，向上画一条长度为1.5的线段，终点即为 e 点。同样，e 和 a 之间也是1.5的支座反力，所以线段ea的长度也是1.5。

然后我们从区域 f 开始，f 介于 d 和 e 之间。左边图中 f 与 d 之间是一条水平线，所以右边图中从 d 点开始画一条水平直线。左边 f 和 e 之间是一条斜线，右边过已知的 e 点做一条同样的斜线。这两条线相交于一点，这个交点就是 f。用尺子一量，水平线段 df 的长度为2.598，也就是说左边图中区域 d 和 f 之间的这个水平杆件的内力是2.598。斜线段 ef 的长度是3，也就是说左边介于 e 和 f 之间的斜杆的内力是3。对左侧支点用节点法求解，很容易就能验证这个结果是正确的。

继续，g 介于 c 和 f 之间，和 c 之间是水平杆件，和 f 之间是竖直杆件。右图中，过 c 点作水平线，过 f 点作竖直线，两线交点即为 g 点。

同理，我们也可以找到 h 点。过 e 作平行于左图中 e 和 h 之间杆件的斜线，过 g 做平行于左图中 g 和 h 之间杆件的斜线，两线交点即为 h 点。

继续找到 i 点，i 点与 h 点对称，符合对称结构的特征。

找到 j 点，j 点同样与 g 点对称。

找到最后一个点，k 点。

验证 k 与 e 之间的关系，左图中 k 与 e 之间的杆件，与右图中线段 ke 平行。说明右图是闭合的，整个体系受力平衡，没有错误。

至此，我们已经完成了这个桁架的图解静力学求解。那如何解读右边的这个结果图形呢？

比如，我想要知道左图中 h 和 i 之间的这根腹杆的内力，我只要去量右图中线段 hi 的长度。hi 长度为2，所以这根腹杆的轴力为2。对于左图中这根杆件的下端点，从 h 到 i 为顺时针方向，右图中从 h 到 i 为向上，所以相对于下端点，内力的方向是向上的，所以是拉力。

同样的道理，如果我想知道左边 f 和 g 之间的竖直腹杆的内力，我只需要去量右图中线段 fg 的长度，长度为1，所以腹杆内力大小为1。以腹杆下端节点为中心，顺时针顺序是从区域 f 到区域 g，右图中从点 f 到点 g 是向上，所以内力相对于这个下端节点是向上。轴力的方向远离节点，所以这根杆件受拉。对于 e 和 i 之间的这根上弦杆，也是如此，我去量线段 ie 的长度，长度是2，所以轴力大小为2。对于上侧节点，顺时针 e 到 i，而右图中 e 到 i 向上，所以内力相对于这个上端节点是向上。轴力的方向指向节点，所以是受压。

最终的结果如上图所示，每根杆件、每个集中力外荷载、每个支座反力，都对应右图中相应的一条线段，力的大小、方向都能由右图确定

人生就是这么美妙不是吗？

很明显，如果你用cad,几分钟就可以搞定你想要的一切～

挑剔的你肯定又会说，这些交给结构的不久好了么，我只要会设计就好了，是的于是我要放大招了！

你还可以用他来设计啊！而且你的设计，其他人都搞不定！

继续举例：

在结构设计的初期，事实上是需要仔细考量各种不同的设计方案的，尤其是总体的结构布置。如果这个时候设计得当，选取了一个很合理的方案，可以说是打下了一个很好的基础。如果这个时候设计不当，选取的方案不太合理，那么后面哪怕再努力的优化细部设计，受限于糟糕的结构方案，恐怕也是无力回天了。

就好比这个例子里，如果工程师选取了第二种桁架，那么后面的设计做的再细致，优化的再好，抠得再细，也要比第一个桁架方案多用 9.8% 的材料，也就意味着差不多要多花 9.8% 的钱。

比如这篇 SOM 和 UIUC 合作的论文，Beghini, L.L., Carrion, J., Beghini, A., Mazurek, A. and Baker, W.F., 2014. Structural optimization using graphic statics.Structural and Multidisciplinary optimization,49(3), pp.351-366.

为什么 SOM 要把论文里提到的这个方案里的桁架设计成这样呢？

因为 SOM 也做了跟我们这里同样的事情！

简单说，方案 a 需要 1「份」的材料，方案 b 需要 0.552「份」的材料，方案 c 需要 0.629「份」的材料……

什么？太高深？你看不懂？没软件，你不会用？

这就对了！

本来就没打算让你一篇文章能搞懂！